Qual è la somma? Soluzioni

Mon, 14 Dec 2020 06:00:00 +0000

Ed ecco la soluzione promessa al problema di ieri. Anzi, LE soluzioni, perché ce ne sono parecchie, più o meno complicate o, meglio, più o meno adatte al modo di pensare di ciascuno.

Il problema era:

Ciascun termine di una serie geometrica è il doppio del precedente. In una certa serie geometrica, la somma del settimo, ottavo e nono termine fa 3. Qual’è la somma del quarto e quinto termine?

In un primo momento può sembrare un problema complicato, ma basta pensarci un po’ per accorgersi che in realtà la soluzione è abbastanza semplice.

Serie geometrica

Come spiega l’enunciato stesso del problema, una serie geometrica è composta da un numero in teoria infinito di termini, ciascuno dei quali è il doppio di quello precedente. Ad esempio, la serie geometrica più semplice che mi viene in mente è

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…

nella quale 1 è il primo termine della serie, 2 il secondo termine e così via, e ciascun termine (ad esempio 8) è il doppio di quello che lo precede (in questo caso 4). (Volendo ci sarebbe una serie geometrica ancora più semplice, composta tutta da zeri, 0, 0, 0, 0, …, ma è un caso particolare molto banale).

Ogni termine della serie può essere indicato con una variabile a cui viene associato un pedice (cioè un numero scritto più in basso rispetto al nome della variabile), che aiuta ad individuare più facilmente il termine della serie a cui ci stiamo riferendo. As esempio a₁, a₂, a₃, indicano rispettivamente il primo, secondo e terzo termine della serie. Per una serie geometrica, a₂ = 2 a₁, a₃ = 2 a₂ = 4 a₁, e così via.

Soluzione #1

In base a quanto appena detto, definiamo il settimo, ottavo e nono termine della serie come a₇, a₈ e a₉. Il problema ci dice che la somma di questi termini è uguale a 3,

a₇ + a₈ + a₉ = 3

Ma abbiamo anche altre informazioni, perché sappiamo che a₈ = 2 a₇ e a₉ = 2 a₈. Possiamo quindi scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite,

a₇ + a₈ + a₉ = 3 a₈ = 2 a₇ a₉ = 2 a₈

che può essere semplificato tenendo conto delle relazioni fra a₇, a₈ e a₉ e esprimendo le tre equazioni in funzione della sola a₇,

a₇ + (2 a₇) + (4 a₇) = 3 a₈ = 2 a₇ a₉ = 4 a₇

La prima delle tre equazioni del sistema diventa 7 a₇ = 3, cioè

a₇ = 3 ⁄ 7

A questo punto è facile, perché a₆ è la metà di a₇, a₅ un quarto di a₇ e a₄ un ottavo, sempre di a₇. Quindi

a₆ = 3 ⁄ 14 a₅ = 3 ⁄ 28 a₄ = 3 ⁄ 56

da cui si ottiene che

a₄ + a₅ = 3 ⁄ 28 + 3 ⁄ 56 = (2 × 3 + 3) ⁄ 56 = 9 ⁄ 56

che è la soluzione del problema.

Soluzione #2

In realtà non c’è bisogno di mettere su un rigoroso sistema di tre equazioni in tre incognite, perché dalla definizione di serie geometrica sappiamo immediatamente che

a₇ + a₈ + a₉ = a₇ + 2 a₇ + 4 a₇ = 3

da cui ricaviamo immediatamente che a₇ = 3, e tutto il resto è identico al caso precedente.

Soluzione #3

Questa soluzione funziona al contrario delle due precedenti, che partono dai termini di ordine maggiore per calcolare quelli di ordine inferiore. In base alla definizione di serie geometrica,

a₂ = 2 a₁, a₃ = 4 a₁, a₄ = 8 a₁, a₅ = 16 a₁, a₆ = 32 a₁, a₇ = 64 a₁, a₈ = 128 a₁, a₉ = 256 a₁

Di conseguenza,

a₄ + a₅ = 8 a₁ + 16 a₁ = 24 a₁

a₇ + a₈ + a₉ = 64 a₁ + 128 a₁ + 256 a₁ = 448 a₁ = 3

Da questa eguaglianza si ricava il primo termine della serie, a₁ = 3 ⁄ 448, e quindi

a₄ + a₅ = 24 a₁ = 24 × 3 ⁄ 448 = 72 ⁄ 448 = 9 ⁄ 56.

Soluzione #4, 5, …

Se qualcuno trova delle soluzioni diverse al problema, sarò ben felice di aggiungerle qui.

Markdown e LaTeX

Markdown mi piace moltissimo e infatti lo uso per scrivere tutti i miei post, così come tanti documenti di lavoro che non devono circolare oltre il circolo, purtroppo ristretto, di chi è in grado di scrollarsi di dosso Word. Purtroppo devo ammettere che il supporto a LaTeX è abbastanza inconsistente. Va benissimo finché si tratta di scrivere delle equazioni semplici, ma appena le cose si complicano, ad esempio quando si prova ad inserire un sistema di equazioni, sono dolori.

Ancora peggio è il fatto che la resa finale dipenda dal motore di conversione. Ad esempio, Marked converte quasi sempre perfettamente le equazioni fuori testo (quelle centrate in uno spazio apposito), sia quando si usano i simboli $$ prima e dopo l’equazione sia inserendole all’interno dell’ambiente \begin{equation} ... \end{equation}. Ma se l’equazione incapsulata fra $$ ... $$ contiene dei pedici (o degli apici) Marked dà un errore, che invece non compare se si usa l’ambiente \begin{equation} ... \end{equation} (meno usato perché molto più lungo da scrivere).

Ancora peggio è quello che succede con il motore LaTeX di Wordpress.com, che non supporta l’ambiente \begin{equation} ... \end{equation} e nemmeno la forma abbreviata $$ ... $$, ma che per integrare le equazioni nel testo in Markdown usa una sintassi non standard, $latex ... $ (dove il codice LaTeX va inserito al posto dei puntini).

D’altro canto Markdown nasce per essere uno strumento semplice per scrivere sul web, caricarlo di troppe opzioni (e di troppe responsabilità) sarebbe un controsenso. In casi come questi forse la cosa migliore è scrivere il testo direttamente in LaTeX, convertendolo poi in HTML puro tramite pandoc o simili.

Io avevo già scritto quasi tutto il testo quando mi sono accorto di questi problemi e per questa volta ho preferito eliminare il codice LaTeX ed usare solo il normale HTML per indicare i pedici o le frazioni, perché la resa grafica delle equazioni fuori testo era davvero pessima. Basta confrontare questa equazione scritta in LaTeX,

$latex \begin{array}{ll} a_7 + a_8 + a_9 = 3\ a_8 = 2 a_7\ a_9 = 2 a_8 \end{array}$

con questa in HTLM mescolato al normale codice Markdown,

a₇ + a₈ + a₉ = 3 a₈ = 2 a₇ a₉ = 2 a₈

per rendersene conto. Purtroppo l’HTML non riesce a gestire bene le frazioni (o forse sono io che non so come fare), prometto di far meglio la prossima volta.

Qual è la somma?

Sun, 13 Dec 2020 06:00:00 +0000

– Foto di Antoine Dautry su Unsplash.

È domenica, bisogna stare in casa (perché voi cercate di stare il più possibile in casa, vero?), perché non dedicarsi ad un piccolo problema di matematica? Il problema è:

Ciascun termine di una serie geometrica è il doppio del precedente. In una certa serie geometrica, la somma del settimo, ottavo e nono termine fa 3. Qual’è la somma del quarto e quinto termine?

La risposta richiede un po’ di matematica al livello della scuola superiore oppure una certa pratica con i rompicapi stile Settimana Enigmistica (“Giovanni ha la camicia verde ed è stempiato. Luca ha l’ombrello. … Di chi è il cane?”). E magari anche un po’ di attenzione nell’osservare certi dettagli…

Per chi non riuscisse a trovare la soluzione, appuntamento a domani. Sarà anche l’occasione per provare un po’ meglio come Markdown (con cui scrivo tutti i miei post) gestisce le equazioni scritte in LaTeX.

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